שאלה קטנה במתמטיקה

[Raging Asaf]

אם יש לי איזושהי פונקציה וכאשר אני מציב בה נניח 3 יוצא

f(3) = 3/(1/0).

כמה היא שווה בנקודה 3?

[Chipmunk]

בעקרון אם זה היה נגיד

f(x)=x/(x-2/x-3)

אז תחום הגדרה לא מרשה לך להציב X=3 כי היא לא מוגדרת ב-X הזה...
אני לא יודע אם אפשר לבצע כפל בהופכי

[3x(0/1)]

אבל אני חושב שאי אפשר..

[Raging Asaf]

תודה רבה על התשובה המוכחת מדעית והמעמיקה ושלא ידעתי לפני זה.

[RocketLauncher]

הוא בסה"כ רצה לעזור...

בכל מקרה, עד כמה שאני יודע, הפונקציה לא מוגדרת הנקודה X=3. זה די בולט אם משרטטים גרף עם אסימפטוטות.

[Raging Asaf]

אל תדאג, זה איל, אנחנו יורדים עליו כל הזמן
לפי המורה שלי, בגלל ש-1/0 זה "אינסוף", ו-3 לחלק ל"אינסוף" זה שואף לאפס, אז ב-x=3 הפונקציה שווה 0. אני חושב שיכול להיות שבגלל שחילקנו ב-0 וזה לא מוגדר ובגלל שב-x=3 ה-y רק שואף ל-0 אז יש נקודה ריקה או משהו כזה, אבל זו רק השערה. אז מי צודק?

[RocketLauncher]

יש שני מצבים:
אם הפונק' היא משהו כזה:

x^2-9
-----
(x-3)^2

אז את ה-x^2-9 הופכים ל: (x+3)(x-3). מצמצמים ב-(x-3) ואז נשאר:

x+3
-----
x-3

X=3 עדיין מאפס את המכנה, והפונקציה תשאף לאינסוף כמו שהמורה של אמר/ה.

אבל, אם הפונק' היא משהו כמו:

x^2-9
-----
4(x-3)

אז את ה-x^2-9 שוב הופכים ל: (x+3)(x-3), שוב מצמצמים ב-(x-3) והפעם נשאר:

x+3
-----
4

הביטוי שאיפס את המכנה כבר לא מאפס אותו, ואז כמו שאמרת יש נקודה ריקה, "חור".

במילים אחרות, אם אחד הערכים של X שמאפס את המכנה מאפס גם את המונה, וניתן "להיפתר" ממנו, אז נפתרים, ובודקים שוב אם הוא מאפס את המכנה. אם לא, יש חור. אם כן, יש אסימפטוטה, והפונק' שואפת לאינסוף.
אם אין ערך שמאפס את שניהם, או שקיים ערך אבל אי אפשר לצמצם בו, אין אפשרות לחור.

[Raging Asaf]

אני יודע, אבל זה לא קשור לשאלה.

[Phoenix of Ice]

בכל מקרה בנקודה x=3 הפונקציה לא מוגדרת אבל אפשר לדבר על מה קורה לפונקציה "בסביבת" x=3 כלומר לאן היא שואפת ככל שמתקרבים ל x=3, במקרה שלך היא באמת תשאף לאפס ולא לאינסוף כי המכנה הוא זה שישאף לאינסוף ואז זה יהיה מה שהמורה שלך אומרת, אבל זה לא נכון להגיד שהיא שווה למשהו כאשר x=3.

[Itay Winkler]

אסף - הפתרון לבעיה שלך באמת מוגדר כ"גבול הפונקציה בנק'". לא ידעתי שמלמדים דברים כאלה בבתי הספר היום, אבל בקורס מתמטיקה בסיסית באוניברסיטה כן עובדים על זה.
מה שרוקטלאנצ'ר אמר נכון.

[Shali]

אני לא חושב שיש פה שום בעיה.
X=3 ערך הפונקציה הוא 0.
0*3/1=0= (1/0)/3
קיצר קשה לכתוב פה במספרים וחלוקות אבל הבנת למה אני מתכוון.
פשוט תכפיל בהופכי של המכנה.

לכאורה אתה גם יכול להגיד ש:
f(x)=x
לא מוגדרת בנקודה 0 כי:
f(x)=x=1/(1/x) g

ואז ב X=0 זה לא מוגדר אבל ברור שזה לא נכון.

טוב לא יודע, אולי זאת הגישה שלי כי אני מהנדס ולא מתמטיקאי.

[Antrax]

לפי המורה שלי, בגלל ש-1/0 זה "אינסוף", ו-3 לחלק ל"אינסוף" זה שואף לאפס, אז ב-x=3 הפונקציה שווה 0

זו הפשטה כל כך גסה עד שהיא פשוט לא נכונה.

קודם כל, בואו נגדיר את התחום שבו אנו חיים. אם אנחנו עוסקים במספרים ממשיים (כמו שאני משער שאנו עוסקים) אז אינסוף זה לא מספר. להגיד שביטוי מקבל ערך "אינסוף" כשעוסקים בממשיים זה כמו לענות "חצי" כשאתה מדבר על מספרים שלמים. פשוט אין דבר כזה. (הערה שלא קשורה לנושא הדיון אבל עשויה לסקרן: כשעובדים עם פונקציות מרוכבות, כלומר שמקבלות מספרים מרוכבים כקלט, אפשר ומקובל להרחיב את התחום שלנו למספרים מרוכבים + אינסוף, זו התמרה שיש לה המון תכונות נורא טבעיות ונוחות. אז נכון להגיד שהביטוי שווה ל"אינסוף", לדוגמה).
אם כדי לחשב ערך של פונקציה מעל הממשיים צריך לחשב ערך של ביטוי לא מוגדר, כמו משהו חלקי אפס (ובהערת שוליים, זה באמת ביטוי לא מוגדר, לא איזו התעקשות מתמטית שלי. "לחלק" זה בעצם לכפול בהופכי של מספר. מספרים ממשיים הם שדה, ובשדות איבר הופכי הוא אך ורק לאיברים פרט לאפס החיבורי) אז הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה.

עד כאן הקטע הרלוונטי למה שהמורה שלך טען. עכשיו, הרחבות שעשויות לעניין:
יש כל מני סוגים של "לא מוגדרת", כמו שציין RocketLauncher. יכול להיות שמשני הצדדים של הנקודה הלא מוגדרת הפונקציה מתנהגת "יפה", או אם לקרוא לילד בשמו, הפונקציה רציפה בסביבת הנקודה (שזה מונח אוניברסיטאי, אבל המשמעות האינטואיטיבית שלו לגבי מספרים ממשיים היא די ברורה - אם תציירו גרף של הפונקציה, אז משמאל לנקודה ומימין לנקודה יהיה אותו ערך, כלומר יש מין חור כזה אבל הוא נקודה). במקרה כזה קוראים לנקודה הזו "אי רציפות סליקה", כי אפשר לסלק אותה בעצם - נמציא פונקציה חדשה, שהיא זהה לפונקציה המקורית בכל הנקודות פרט לנקודה הבעייתית, ובנקודה הבעייתית ניקח את הערך שיש משני הצדדים (שים לב שבשביל זה צריך שיהיה אותו ערך בשני הצדדים של הנקודה). זה כנראה מה שהמורה שלך חשב כשהוא רצה שתקבל אפס בחישוב - כי כנראה שהפונקציה רציפה בנקודה והערך משני הצדדים אפס, אז הוא בראש הגדיר פונקציה חדשה וסילק את אי-הרציפות.
התחלתי לכתוב על אי-רציפויות עיקריות, אבל אז ראיתי שוויקיפדיה בעברית מציעה הסבר בשפה פשוטה עם גרפים, אז אני פשוט אלנקק אליו:
וויקיפדיה: נקודת אי רציפות.
אם אחרי הקריאה נשארו שאלות, אני אשמח להרחיב.

[PopperThingi]

איזה כיתה אתה? אם אתה מתחת לרמה של 006 השנה אני לא יודע למה נתנו לכם את זה. בכל מקרה התשובה היא או שיש אסימפטוטה אנכית בקו בו X=3, ואז שוב אם אתה לא לומד ל-006 אין שום סיבה שתדע את זה, או שהמורה לך רוצה שתבין שזאת נקודת "חור" ובתכלס זה אומר שאתה יכול לצמצם את הפונקציה המקורית. שוב, אם אתה לא לומד ל-006, המורה שלכם סתם הכניסה חומר שאתם לא אמורים ללמוד, ואם אתה כן לומד ל-006, המורה שלכם הגיע לחומר לפני שהוא לימד לגזור בכלל, שזה מאוד משונה.
וההגדרה שלו/ה היא מאוד משונה, n/0 זה בח"מ.

[SaintDevilS]

(הערה שלא קשורה לנושא הדיון אבל עשויה לסקרן: כשעובדים עם פונקציות מרוכבות, כלומר שמקבלות מספרים מרוכבים כקלט, אפשר ומקובל להרחיב את התחום שלנו למספרים מרוכבים + אינסוף, זו התמרה שיש לה המון תכונות נורא טבעיות ונוחות. אז נכון להגיד שהביטוי שווה ל"אינסוף", לדוגמה).

באמת סקרן אותי, אותי איזה פעולות מוגדרות אם עושים כך?
דרך אגב, באיזו רמה אתה יודע מתמטיקה?

[Antrax]

חיבור וכפל, כמו בכל שדה. אם מרחיבים את C (שדה המספרים המרוכבים) על ידי הוספת אינסוף, פשוט צריך להוסיף שאינסוף הוא ההופכי של אפס, וכל השאר די מסתדר מעצמו (פירוט אפשר למצוא בוויקיפדיה: ספירת רימן). זה בדיוק המובן האינטואיטיבי של אינסוף, רק שזה מקבל ביסוס מתמטי. אז נשאלת השאלה, מה זה מוסיף מעבר ללהפוך את המורה של אסף לצודק? אז דוגמה אחת שמיד קופצת לראש היא זאת. בפונקציות מרוכבות (כלומר פונקציות שמקבלות ערכים מהתחום המרוכב) מתעסקים המון בהעתקות קונפורמיות, שהן פונקציות מרוכבות ששומרות על תכונות גאומטריות. כלומר, אם תעתיק שתי פונקציות שהגרפים שלהם נחתכים בזווית מסוימות, אז גם ההעתקות של הפונקציות תחתכנה באותה זווית. אז אם מוסיפים אינסוף למשחק, זה גם משמר את העניין שמספר נקודות החיתוך נשמר. מה זאת אומרת? נניח שהעתקת שני מעגלים שווי רדיוס עם מרכזים שונים. הם נחתכו לפני ההעתקה בשתי הנקודות. רצה הגורל וההעתקה שלך העבירה את שניהם לקווים ישרים לא מקבילים, כלומר הם נחתכים בנקודה אחת "שרואים". לאן ברחה נקודת החיתוך השניה? לאינסוף, איפה שכל הישרים נחתכים זה עם זה. (אם זה יותר מדי ערטילאי, אפשר להביא דוגמה עם פונקציות קונקרטיות).
לגבי השאלה השניה, כל מי שעושה תואר "ריאלי" עושה מספר מסוים של קורסים במתמטיקה באוניברסיטה. מה שכתבתי כאן מסתמך על כמה קורסי מבוא שעושים בשנתיים הראשונות במסגרת התואר שלי במדעי המחשב.

[SaintDevilS]

נשמע מעניין, אני מקווה ללמוד את זה גם במסגרת התואר.. כרגע אני לומד אלגברה לינארית ב' בתחום המתמטי.
לומדים את זה בחדוו"א ב'? (אינפי ב' בטכניון)

[Antrax]

החומר על קומפלקסים הוא חומר בקורס שנקרא פונקציות מרוכבות (יש לו כמה גרסאות, אני למדתי את הבסיסית). החומר על שדות זה חומר שכבר למדת אם אתה עושה עכשיו לינארית ב'.

[SaintDevilS]

החומר על שדות זה חומר שכבר למדת אם אתה עושה עכשיו לינארית ב'.

אני יודע מה זה שדה בצורה כללית ביותר.. כלומר, לא למדתי בכלל שדות בלינארית א' (כל מיני הגדרות למיניהם, אם קיימות). למשל אם היה מ"ו מעל שדה R ידעתי שזה קבוצת המספרים האי רציונאליים, לא יותר. חח נו טוב, מה אתה מצפה מאוניברסיטת חיפה?
בעצם, ההגדרה של שדה מויקיפדיה נראית מוכרת.. זה נראה דומה למרחב וקטורי באיזשהו אופן...

[Antrax]

זה קצת מוזר ללמד מרחב וקטורי בלי ללמד על שדות. "מוגדרות שתי פעולות, חיבור וכפל בסקלר. מה זה סקלר? איבר בשדה. מה זה שדה? אה... בכל מקרה, אז מוגדרות שתי פעולות...". אישית בקורס מבוא לאלגברה שאני עשיתי קודם למדנו על שדות ורק אז על מרחבים וקטוריים.