איך בדיוק עובד חזקה במספר פחות מאחד?
לדוגמא: 100 בחזקת 3 זה המקביל של 100x100x100
מה זה בדיוק 100 בחזקת 0.3? (לא התוצאה, אלא איך בדיוק זה עובד.)
שאלה במתמטיקה
מנהלים: kabanist, Sir Psycho Sexy
-
Itay Winkler
- MTGil Wizard
- הודעות: 3529
- הצטרף: 26/1/2003 , 12:46
- מיקום: Tel aviv
- אמר/ה תודה: 0
- קיבל תודה: 0
- יצירת קשר:
-
maverick42
- MTGil Wizard
- הודעות: 342
- הצטרף: 12/2/2007 , 19:10
- מיקום: Tel-Aviv
- אמר/ה תודה: 0
- קיבל תודה: 0
-
MasterPain
- MTGil Wizard
- הודעות: 684
- הצטרף: 03/1/2006 , 17:27
- מיקום: ק.מוצקין.
- אמר/ה תודה: 0
- קיבל תודה: 0
- יצירת קשר:
זה לא כזה מסובך. תחשוב על זה ככה. אי אפשר באמת להגיע למספר אי-רציונלי, יש לו אינסוף ספרות אחרי הנקודה וזה מבאס. אבל, כמו שmaverick42 כתב, אתה יכול לקחת סדרה של שברים שהסכום שלה שואף אליו. עבור פאי, הראשון יהיה 3/1. השני 1/10. השלישי 4/100 וכך הלאה. ואז, כמו שכדי לחשב x בחזקת 5 אתה יכול לחשב x בריבוע ולכפול את זה בx בשלישית, כדי לחשב x בחזקת מספר אי רציונלי אתה יכול לכפול את כל כל החזקות של x באיברים מהסדרה. אם תעשה את זה עד אינסוף, תקבל בדיוק את x בחזקת אותו מספר. זה מה שכתוב שם.
-
demonic sengir
- I Am Tutor
- הודעות: 1943
- הצטרף: 21/2/2006 , 21:28
- מיקום: מעונות
- אמר/ה תודה: 0
- קיבל תודה: 0
זה לא יוצא בדיוק 1.995. זה רק קירוב מסויים של המספר האמיתי, שנעשה ע"י מה שנקרא פולינום טיילור. אין סיבה מיוחדת לזה שזה ככה, וזה לא "עובד" שונה מכל חזקה אחרת...
אין פה שום שינוי מהמס' שהוא שורש ריבועי של 2. זה גם מס' לא יפה, ויש לו אינסוף ספרות אחרי הנק'. 10 בחזקת 3/10 זה בדיוק 10 בשלישית, ואח"כ כל זה בחזקת 1/10, שזה אלף בחזקת 1/10, שזה שורש עשירי של אלף.
1.995 יוצא שורש עשירי של אלף. זהוא.
אין פה שום שינוי מהמס' שהוא שורש ריבועי של 2. זה גם מס' לא יפה, ויש לו אינסוף ספרות אחרי הנק'. 10 בחזקת 3/10 זה בדיוק 10 בשלישית, ואח"כ כל זה בחזקת 1/10, שזה אלף בחזקת 1/10, שזה שורש עשירי של אלף.
1.995 יוצא שורש עשירי של אלף. זהוא.
How is my whisky cup doing?
תמיר את השבר העשרוני לשבר רגיל ויהיה לך יותר קל. (0.4 ---> 10\4)
המונה מכיל 4 אז 10 בחזקת 4 זה רבבה (10,000).
אח"כ צריך לעשות חזקה של 10\1. כלומר השורש של 10 של רבבה(איזה מס' בחזקת 10 שווה רבבה, ואז אתה מקבל מספר ארוך...).
הנה דוגמא : כשאתה עושה 8 בחזקת 3\1 אתה בעצם עושה שורש שלישי של 8. בעצם אתה שואל איזה מס' בחזקת 3 ייתן 8 - והתשובה היא 2.
עריכה: הנה תמונה מויקיפדיה:
המונה מכיל 4 אז 10 בחזקת 4 זה רבבה (10,000).
אח"כ צריך לעשות חזקה של 10\1. כלומר השורש של 10 של רבבה(איזה מס' בחזקת 10 שווה רבבה, ואז אתה מקבל מספר ארוך...).
הנה דוגמא : כשאתה עושה 8 בחזקת 3\1 אתה בעצם עושה שורש שלישי של 8. בעצם אתה שואל איזה מס' בחזקת 3 ייתן 8 - והתשובה היא 2.
עריכה: הנה תמונה מויקיפדיה:
קרואן, אני מניח שאתה מבין ש100 בחזקת 0.3 שווה ל-
3^100 שורש 10.
ואני מניח שאתה רוצה חישוב של זה בלי מחשבון. אז הנה:
נשתמש בתמונה שהאיש מעליי פרסם. כאשר n מסמן את השורש, m מסמן את החזקה, ו- a מסמן את המספר שאיתו אנו עובדים.
ננסה לחשב כמה זה 243 בחזקת 0.4 (נבחר סתם כי הוא נוח.)
(4/10)^243 = (2/5)^243. (אתה לא חייב לפשט את זה. סתם עשיתי את זה כי זה נוח).
אתה יודע שזה שווה לשורש 5 של 243. ואז את התוצאה אתה מעלה בריבוע (חזקה 2).
ריבוע אנחנו כבר יודעים איך לעשות, לכן נחשב רק כמה זה שורש 5 של 243.
a=243
n=5 (השורש)
בשביל לגלות מהו שורש 5 של 243, או a שורש n, אנחנו צריכים להשתמש בכמה שלבים:
1.ניחוש
2.הצבה בנוסחא
3.ממוצע
אחר"כ אתה פשוט חוזר על שלבים 2 ו-3
1. ניחוש - אתה מנחש מהי התוצאה של a שורש n. במקרה שלנו 243 שורש 5.
הניחוש לא חייב להיות מדוייק. למעשה, כל מספר שתנחש יהיה בסדר, רק, כמה שהניחוש יהיה רחוק יותר מהתוצאה ככה תהיה לך יותר עבודה.
למקרה שלנו ניקח בתור ניחוש את המספר 10.
נסמן את הניחוש ב-g.
g=10
2. הצבה בנוסחא -
יש לנו את הנתונים שלנו.
g=10
a=243
n=5
עכשיו צריך להציב בנוסחא הבאה:
G =[(n-1)*g + a/g^(n-1)]/n
במקרה שלנו:
G=[(5-1)*10 + 243/10^(5-1)]/5
G=8 (בקירוב).
3. ממוצע -
עושים ממוצע של g ו-G.
(G+g)/2 = (10+8)/2 = 9
עכשיו 9 הוא ה-g החדש שלנו.
אנחנו חוזרים על שלבים 2 ו-3 כאשר g=9
2. הצבה -
G=[(5-1)*9 + 243/9^(5-1)]/5
G=7.2
3. ממוצע -
8.1 = 2/ (7.2+9)
עכשיו ה-g החדש שלי הוא 8.1
אני חוזר על זה שוב ושוב. בשלב כלשהו אני אגיע ל-3.
תראה מה קורה:
2. הצבה -
G = [(5-1)*3 + 243/3^(5-1))]/5 = 3
אתה רואה? עכשיו לא משנה כמה אני אחזור על השלבים תמיד ה-g שלי יהיה 3. זה אומר שהגעתי לתוצאה הסופית שלי (בשורשים אי רציונליים מפסיקים בדר"כ כששלושת הספרות אחרי הנקודה מפסיקות להשתנות).
בקיצור, ככה מחשבים שורש.
עכשיו אחרי שיש לך את התוצאה של 243 שורש 5 (שווה ל-3) , אתה יכול לחשב כמה זה (2/5)^243.
אתה פשוט לוקח את 243 שורש 5, ומעלה בריבוע. 3 בריבוע = 9.
9=(2/5)^243=0.4^243
3^100 שורש 10.
ואני מניח שאתה רוצה חישוב של זה בלי מחשבון. אז הנה:
נשתמש בתמונה שהאיש מעליי פרסם. כאשר n מסמן את השורש, m מסמן את החזקה, ו- a מסמן את המספר שאיתו אנו עובדים.
ננסה לחשב כמה זה 243 בחזקת 0.4 (נבחר סתם כי הוא נוח.)
(4/10)^243 = (2/5)^243. (אתה לא חייב לפשט את זה. סתם עשיתי את זה כי זה נוח).
אתה יודע שזה שווה לשורש 5 של 243. ואז את התוצאה אתה מעלה בריבוע (חזקה 2).
ריבוע אנחנו כבר יודעים איך לעשות, לכן נחשב רק כמה זה שורש 5 של 243.
a=243
n=5 (השורש)
בשביל לגלות מהו שורש 5 של 243, או a שורש n, אנחנו צריכים להשתמש בכמה שלבים:
1.ניחוש
2.הצבה בנוסחא
3.ממוצע
אחר"כ אתה פשוט חוזר על שלבים 2 ו-3
1. ניחוש - אתה מנחש מהי התוצאה של a שורש n. במקרה שלנו 243 שורש 5.
הניחוש לא חייב להיות מדוייק. למעשה, כל מספר שתנחש יהיה בסדר, רק, כמה שהניחוש יהיה רחוק יותר מהתוצאה ככה תהיה לך יותר עבודה.
למקרה שלנו ניקח בתור ניחוש את המספר 10.
נסמן את הניחוש ב-g.
g=10
2. הצבה בנוסחא -
יש לנו את הנתונים שלנו.
g=10
a=243
n=5
עכשיו צריך להציב בנוסחא הבאה:
G =[(n-1)*g + a/g^(n-1)]/n
במקרה שלנו:
G=[(5-1)*10 + 243/10^(5-1)]/5
G=8 (בקירוב).
3. ממוצע -
עושים ממוצע של g ו-G.
(G+g)/2 = (10+8)/2 = 9
עכשיו 9 הוא ה-g החדש שלנו.
אנחנו חוזרים על שלבים 2 ו-3 כאשר g=9
2. הצבה -
G=[(5-1)*9 + 243/9^(5-1)]/5
G=7.2
3. ממוצע -
8.1 = 2/ (7.2+9)
עכשיו ה-g החדש שלי הוא 8.1
אני חוזר על זה שוב ושוב. בשלב כלשהו אני אגיע ל-3.
תראה מה קורה:
2. הצבה -
G = [(5-1)*3 + 243/3^(5-1))]/5 = 3
אתה רואה? עכשיו לא משנה כמה אני אחזור על השלבים תמיד ה-g שלי יהיה 3. זה אומר שהגעתי לתוצאה הסופית שלי (בשורשים אי רציונליים מפסיקים בדר"כ כששלושת הספרות אחרי הנקודה מפסיקות להשתנות).
בקיצור, ככה מחשבים שורש.
עכשיו אחרי שיש לך את התוצאה של 243 שורש 5 (שווה ל-3) , אתה יכול לחשב כמה זה (2/5)^243.
אתה פשוט לוקח את 243 שורש 5, ומעלה בריבוע. 3 בריבוע = 9.
9=(2/5)^243=0.4^243
את זה אסור לעשות. אחרת מקבלים פרדוקסים בגלל האסוציאטיביות של חזקה. כשמעלים בחזקת מספר רציונלי, אסור לשנות אותו. אני לא זוכר את הניסוח המדויק, אבל ככה זה.Bloop כתב:(4/10)^243 = (2/5)^243.
בהקשר אחר, אולי תתעניין לדעת שיש שיטות אחרות (יעילות בהרבה) משיטת החציה לחישוב שורש. פיתוח לפולינום טיילור היא אחת מהן, אבל יש גם דברים כמו ניוטון-רפסון ועוד הרבה דברים מגעילים שידעתי סמסטר שעבר אבל עכשיו די שכחתי
-
Beryl the Green
- Tolarian Master
- הודעות: 1890
- הצטרף: 19/5/2003 , 21:14
- מיקום: Tel-Aviv
- אמר/ה תודה: 0
- קיבל תודה: 0
- יצירת קשר:
לא מדויק, זינגר, שיטת החצייה היא אחת מהטובות. טור טיילור לא כל כך מתאים כאן, וניוטון רפסון היא בדיוק שקולה לשיטת החצייה. הוכחה:
כדי למצוא שורש, נצטרך לפתור את המשוואה: x^2 - K = 0
ניחשנו פתרון קרוב מסויים, m. אם כן, הנקודה על הפונקציה היא: (m,m^2-K). גזירה נותנת לנו שיפוע של 2x. משוואת המשיק שמשיק בנקודה שקיבלנו היא:
y - y0 = slope(x-x0)
y-m^2 + K = 2mx - 2m^2
y = 2mx - m^2 - K
נציב y=0 כדי לראות באיזה x המשיק חותך את ציר ה - x.
0 = 2mx - m^2 - K
2mx = m^2 + K
x = (m+K/m)/2
שזהו בדיוק אלגוריתם החצייה.
כדי למצוא שורש, נצטרך לפתור את המשוואה: x^2 - K = 0
ניחשנו פתרון קרוב מסויים, m. אם כן, הנקודה על הפונקציה היא: (m,m^2-K). גזירה נותנת לנו שיפוע של 2x. משוואת המשיק שמשיק בנקודה שקיבלנו היא:
y - y0 = slope(x-x0)
y-m^2 + K = 2mx - 2m^2
y = 2mx - m^2 - K
נציב y=0 כדי לראות באיזה x המשיק חותך את ציר ה - x.
0 = 2mx - m^2 - K
2mx = m^2 + K
x = (m+K/m)/2
שזהו בדיוק אלגוריתם החצייה.
To see a world in a grain of sand and a heaven in a wild flower, hold infinity in the palm of your hand and eternity in an hour.